进阶概率论

集合论

广而言之，一个集合指的是一些物体的总体。在概率论中，我们用一个集合来表示一些事件的组合。比如，我们可以用集合 A、B、C 分别表示电芯出现“A 类、B 类、C 类缺陷”这三个事件，再用集合运算来描述它们的组合（例如“同时出现 A 和 B 类缺陷”）。因此我们有必要掌握一些基本的集合运算。

用下面的集合生成器来构造一个集合，然后点击“提交”来查看你的集合对应的文氏图。通过拖放来移动或者放缩圆的大小。

古典概型

古典概型本质上就是数数，但要数清楚“符合某种条件的情况一共有多少种”往往比想象中难。产线上这件事很常见：某个不良出现时，我们怀疑它和若干因子（工序段、设备、批次、班次……）有关，需要做交叉对比来定位。

如果对 \(n\) 个可疑因子做两两交叉对比，要比多少次？这是不计顺序的组合：\(C_n^2 = \dfrac{n(n-1)}{2}\)。比如怀疑 6 个工序段，两两比一遍就是 15 次。

而在 DOE（实验设计）里，计数会更夸张。设 \(k\) 个因子、每个取 2 个水平：全因子试验要把所有组合都跑一遍，需 \(2^k\) 次，这就是乘法原理下的指数爆炸。下面的工具可以直观感受计数随因子个数增长有多快。

选择这批电芯的数量，下表展示无放回逐只抽取时，所有可能的抽取顺序（排列）与不计顺序的抽取结果（组合）各有多少种。

点击下面的表格来查看所有可能出现的排列和组合。

条件概率

条件概率让我们利用已有的信息。举个例子，在已知一只电芯来自面密超规的那批的情况下，我们会估计它“厚度超规”的概率高于随机抽取的一只电芯。这种基于已有相关信息得出的概率称为条件概率。

数学上，条件概率的计算会把样本空间缩小到一个我们已知信息的事件。再以上面的例子，我们现在只考虑面密超规的那批电芯，而不是全部电芯；然后确定这些电芯中有多少只厚度也超规，这些厚度超规的电芯在我们所考虑的全部电芯中所占的比例，即为条件概率 \(P(\text{厚度超规}\mid\text{面密超规})\)。

点击下面的标签来观察不同的样本空间图形。