第六章

回归分析

回归分析是一种建立两个变量之间线性模型的方法

最小二乘法

最小二乘法是一个估计线性模型参数的方法。这个方法的目标是找到一组线性模型参数，使得这个模型预测的数据和实际数据间的平方误差达到最小。这是四个让让统计学家一度十分头疼的数据集：安斯库姆四重奏，你可以通过这四个数据集进一步探索最小二乘法。

选择一个数据集

拖动图中的数据点，观察它们对回归直线的影响。

点击下方表格来了解每个参数在最小二乘法中的具体含义。

	$\displaystyle{n}$	$\displaystyle{\bar{\cssId{xMEAN}{x}}}$	$\displaystyle{\bar{\cssId{yMEAN}{y}}}$	$\displaystyle{\hat{\cssId{BETA0}{B_{0}}}}$	$\displaystyle{\hat{\cssId{BETA1}{B_{1}}}}$	$\displaystyle{SSE}$
Model

$n$ 是样本大小，也就是数据集中数据点的个数。

$\bar{x}$ 是$X$数据的均值，其数学定义如下：

$$\bar{x} = \sum_{i=1}^{n}\dfrac{x_{i}}{n}$$

$\bar{y}$ 是$y$数据的均值，其数学定义如下：

$$\bar{y} = \sum_{i=1}^{n}\dfrac{y_{i}}{n}$$

$\hat{B_{0}}$是回归直线的截距，目前的估计值的方差是__。其数学定义如下：

$$\hat{B_{0}} = \bar{y} - \hat{B_{1}}\bar{x}$$

$\hat{B_{1}}$ 是回归直线的斜率，目前估计的方差是__。其数学定义如下：

$$\hat{B_{1}} = \dfrac{S_{xy}}{S_{xx}}$$

$SSE$指的是残差平方和（sum of squared error，其数学定义如下：

$$SSE = \sum_{i=1}^{n}\Big{(}y_{i} - \big{(}\hat{B_{0}} + \hat{B_{1}}x_{i}\big{)}\Big{)}^{2}$$

相关性

相关性是一种刻画两个变量之间线性关系的度量。相关性的数学定义是

$$r = \dfrac{s_{xy}}{\sqrt{s_{xx}}\sqrt{s_{yy}}}$$

其中 $$\begin{align*} s_{xy} &=\sum^n_{i=1} (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})\\ s_{xx} &=\sum^n_{i=1} (x_i-\bar{x})^2\\ s_{yy} &=\sum^n_{i=1} (y_i-\bar{y})^2 \end{align*}$$ 由上述定义我们可以看出$r\in[-1.1]$。

我们还可以把相关性$r$理解为最小二乘法确定的$x,y$变量方向之间的余弦值。下面用一批电芯（分为不同型号）的示例测量数据来进一步探索这个概念（演示数据实际采用公开的鸢尾花数据集，仅用于说明方法）。选择下方电芯型号：

点击下面相关性矩阵来探索各型号电芯各项参数之间的相关性。

	内阻	容量	循环寿命	温升
内阻
容量
循环寿命
温升

方差分析

方差分析（ANOVA，Analysis of Variance）是一种检验各组数据是否有相同均值的统计学方法，比如检验不同工艺或型号的电芯在某项指标上的均值是否一致。方差分析将 t 检验从检验两组数据均值推广到检验多组数据均值，其主要方法是比较组内和组间平方误差。

选择一个数据集来进行探索：

你可以移动数据点然后观察这些改变如何影响方差分析的结果。

点击下方方差分析表格的各列来进一步了解各参数的意义。

	$\displaystyle{SSE}$	$\displaystyle{df}$	$\displaystyle{MS}$	$\displaystyle{F}$	$\displaystyle{p}$
组间误差 Treatment
随机误差 Error
总和 Total

$SSE$ （sum of squared residuals）指的是残差平方和。其数学定义如下：

$$SSE = \sum_{i=1}^{n} \big{(}y_{i} - \bar{y}\big{)}^{2}$$

$df$（degree of freedom）指的是自由度. 其数学定义如下:

$$df = n - 1$$

$MSE$（mean squared error）指的是均方差，其数学定义如下：

$$MSE = \dfrac{SSE}{df}$$

$F$ 是一个检验统计量，其数学定义如下：

$$F = \dfrac{SST/(k-1)}{SSE/(n-k)} \sim f_{k-1,n-k}$$

$p$是由F统计量得出的p值。

	\(\displaystyle{n}\)	\(\displaystyle{\bar{\cssId{xMEAN}{x}}}\)	\(\displaystyle{\bar{\cssId{yMEAN}{y}}}\)	\(\displaystyle{\hat{\cssId{BETA0}{B_{0}}}}\)	\(\displaystyle{\hat{\cssId{BETA1}{B_{1}}}}\)	\(\displaystyle{SSE}\)
Model

	\(\displaystyle{SSE}\)	\(\displaystyle{df}\)	\(\displaystyle{MS}\)	\(\displaystyle{F}\)	\(\displaystyle{p}\)
组间误差 Treatment
随机误差 Error
总和 Total

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最小二乘法

相关性

方差分析

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