统计推断：贝叶斯学派

贝叶斯公式

假设一只电芯刚通过缺陷检测设备，被判为阳性（疑似有缺陷）。我们最想知道的是：已知这个结果，它真的有缺陷的概率是多少？毕竟检测设备并非 100% 准确。贝叶斯公式让我们能算出这个概率：

$$P(\text{有缺陷}|阳性) = \dfrac{P(阳性|\text{有缺陷})P(\text{有缺陷})}{P(阳性)}$$

这正是测量系统分析（MSA）里属性检测能力的核心问题。把一只良品误判为 NG，是误报；把一只真有缺陷的电芯漏判成 OK，是漏检，检测设备的好坏正由这两个错误率决定。式中“有缺陷”的先验概率 \( P(\text{有缺陷}) \)，就是这批电芯真实的不良率；拖拽下方柱状图来调整它。

后验概率同时依赖检测的准确程度：一只良品被判为阴性的概率、一只缺陷电芯被判为阳性的概率，你都可以在下方设定。

最后还需要知道检测给出阳性的总概率，点击按钮生成样本来模拟检测过程。后验概率 \( P(\text{有缺陷}\mid\text{阳性}) \) 告诉你：在所有被判 NG 的电芯里，真正有缺陷的占多少，而这正是衡量一套属性检测系统是否可信的关键指标。

以上就是计算后验概率所需要的所有信息。下方的表格给出了利用贝叶斯公式算出的其他后验概率。

似然函数

在统计学中， 似然函数 的定义是：

$$L(\theta | x) = P(x | \theta)$$

似然函数的概念在频率学派和贝叶斯学派中都有重要的作用。

选择样本大小\(n\)然后生成样本。

拖动紫色滑块（改变\(\theta\)的值）并观察似然函数。

从先验概率到后验概率

贝叶斯统计的核心思想是利用观察到的数据来更新先验信息。考虑一条产线，每只电芯合格的概率（良率）为\(p\)。下面的紫色滑块可以调整\(p\)的大小（假设在现实中我们并不知道\(p\)）。

粉色的滑块可以调整\(p\)的先验分布。这里我们假定\(p\)的先验分布是Beta(\(\alpha,\beta\))，在图中粉色曲线代表了先验概率的密度分布函数。

当我们不断抽检电芯时，我们不断更新关于\(p\)的后验分布。这个后验分布就是我们对\(p\)的最好估计，同时这也是我们对下一只电芯抽检结果的先验信息。